Умер Владимир Игоревич Арнольд, один из крупнейших математиков современности, из тех гениев, которых приходится по несколько человек на столетие, научный руководитель десятков людей, составляющих славу современной мировой математики, и вдохновитель несчитанных сотен молодых математиков.

Среди великих математиков есть такие, чья слава связана с одним единственным прорывом, результатом-вершиной, требующим невероятного упорства, таланта и везения. Эндрю Вайльс, завершивший доказательство теоремы Ферма, подготовленное стараниями многих выдающихся учёных, Григорий Перельман, работу которого по полному доказательству гипотезы Пуанкаре можно сравнить с усилиями альпиниста, в одиночку поднимающегося на пик из последнего лагеря, построенного всей группой, Владимир Воеводский, двигающий фронт современной математики так, что за ним никто не может угнаться – самые свежие примеры.

Арнольд начал свою математическую карьеру с такого достижения, решив, вместе с Колмогоровым, титаном старшего поколения, «13-ю проблему Гильберта». Ответ Арнольда и Колмогорова на вопрос, более общий, чем был задан изначально Гильбертом, звучал так: любая непрерывная функция трёх переменных может быть представлена как суперпозиция (последовательное применение) нескольких функций от двух переменных.  Эта студенческая работа прославила бы любую математическую биографию, но путь Арнольда только начинался. Его основные достижения – и работы его учеников, многие из которых сами по себе являются крупными учёными – связаны с геометрией и топологией особенностей и динамическими системами.

Половина математики ХХ века – это борьба за лучший алгебраический язык для описания геометрических объектов. Алгебраические объекты легко – о, в этом слове «легко» запрятаны десятилетия усилий и годы обучения современных профессиональных математиков – относительно легко поддаются изучению. Геометрические объекты – про которые хотелось бы знать побольше – потому например, что физические свойства объектов и веществ требуют понимания их «геометрического устройства» - поддаются изучению плохо. Чуть сдуйте мячик так, чтобы на нём осталось вмятина – и это объект другой формы. Математики всё время ищут такие алгебраические конструкции, которые сохраняют свою форму – или меняют по известному закону – вместе с поверхностями и струями, которые они описывают.

Самая знаменитая теория Арнольда – так называемая КАМ-теория (по именам Колмогорова, который сформулировал подход к проблеме, Арнольда, доказавшего основные теоремы и Мозера, который распространил результаты на больший класс ситуаций) - связана с законами движения динамических систем, описанных простой системой уравнений. Важнейший вопрос – важнейший и для практики, и для теории – как реагирует такая система на небольшое изменение условий?

Самая популярная среди нематематиков книжка Арнольда – про «теорию катастроф». Наука, про то, как условия меняются чуть-чуть, а результат меняется сильно. Попробуйте слегка подвигать чашку пальцем к краю стола. На несильный толчок пальцем система (чашка в данном случае) отвечает столь же небольшим изменением – чашка чуть-чуть сдвигается. Но в какой-то момент мы делаем точно такое же движение – слабый толчок пальцем, и система меняется радикально: чашка падает со стола. Чтобы описывать такие ситуации, нужно изучать поверхности и точки на них, в которых происходит какой-то «перелом», складка. Чтобы просто классифицировать такие особые точки – не говоря уже о том, чтобы изучать законы, управляющие движением в районе этих точек – нужен математический язык. Арнольд один из создателей этого языка. Можно сказать, что именно его трудами теория катастроф - собрание пёстрых откровений учёных самых разных специальностей – стала полноценной математической теорией. «Особенности дифференцируемых отображений» звучит, конечно, не так завлекательно как «теория катастроф»…

Арнольд – отец современной вещественной алгебраической геометрии. В это трудно поверить нематематику, но кривые и поверхности в вещественном пространстве – куда более сложный для изучения объект, чем те же кривые – в пространстве комплексном. Впрочем, можно и поверить – у квадратного уравнения может не быть вещественных корней, а комплексных корней не быть не может.

В каждой области, в которой Арнольд работал, он стал классиком – он самый цитируемый российский учёный и один из самых цитируемых математиков современности. Но дело даже не в цитатах – те области, которые он создал, стали самостоятельными, большими и живыми разделами математической науки. Его ученики – ведущие математики в этих областях (я знаю много имён, но боюсь что-то спутать и кого-то обидеть). Как никакие ученики никакого другого учёного они являлись частью единого целого - математический гений Арнольда был тем, что связывал этих разных – только, как всех больших математиков, одинаково одиноких и чувствительных – людей в единое целое. Я слышал, что ни одна гипотеза, высказанная Арнольдом, не была опровергнута, хотя многие ещё не доказаны. Это – лишь маленькое свидетельство уникальной способности видеть гораздо дальше, чем видят окружающие.

Двадцать лет назад, когда я поступил на первый курс мехмата МГУ, Арнольд читал лекции по дифференциальным уравнениям на втором. Мой одногруппник, тоже выпускник 57-ой матшколы удивился, что я не собираюсь ходить. А я удивился, что Петя удивился – мне ходить на старшие курсы было трудно. А Петя, к слову, пошёл, стал учеником Арнольда и, впоследствии, самостоятельным симплектическим геометром.

Однажды, примерно в то же время, я пошёл на выступление Манина на матобществе. Видимо, потому что я ничего не понял, мне запомнились какие-то неважные детали. Арнольд сидел в первом ряду и задавал вопросы. Манин, вдохновенно исписав небольшую доску в аудитории на 16-ом этаже, поставил точку и сказал что-то типа «всё правильно». Слушатели, полный зал, молчали. Мне хотелось думать, что потому, что тоже ничего не понимают. – Правильно, - сказал Арнольд, - Только минус. Манин повернулся и уставился на доску. Пробежав формулы глазами, он дописал минус в конце и где-то по ходу и сказал, - Да, но это ничего не меняет. – Конечно, не меняет, - дружелюбно согласился Арнольд.

Через двадцать лет, год назад, на заседании матобщества мы слушали ученика Арнольда – очень известного математика, профессора одного из североамериканских университетов. Арнольд сидел в первом ряду и всё время требовал от докладчика строгости формулировки. Это нисколько не выглядело неуместным – собственные работы Арнольда, насколько я могу судить, образец строгости и ясности.

Судя по его публицистическим брошюрам, Арнольд был нетерпим ко многому в математике. Он протестовал против «бурбакизации» научного языка - при том что сам он был крайне чувствителен к точности формулировок, и много писал про проблемы российского и французского математического образования, от начальной школы до аспирантуры. В конце июня он должен был выступать на конференции про проблемы российской науки, на которую Европейский университет собирает звёзд первой величины и в естетственных, и в гуманитарных науках.

«От 5 до 15» маленький сборник задач для детей, написанный Арнольдом – рекомендуется всем родителям [дети которых уже справились со «Сказками и подсказками» Елены Козловой]. Сложность задач там растёт чуть ли не экспоненциально (а способности детей, по самому оптимистичному сценарию, линейно) – но только ради одной задачи, про червяка и двухтомник (задача номер 13), стоит скачать эту маленькую книжку.

Нетерпимость Арнольда к «другой математике» - я знаю учёных, для которых «Коммутативная алгебра» Бурбаки – настольная и любимая книга - была бы, возможно, губительной, если бы он занимал какие-то «командные высоты». Но он никогда не занимал административных позиций, соответствующих его научному гению (Колмогоров был деканом мехмата, Петровский – даже ректором университета, Новиков заведовал кафедрой). Это особенно странно, потому что в отличие от этих великих математиков и множества деканов и завкафедр помельче научным мастштабом, у Арнольда была огромная научная школа. Арнольд не пользовался расположением руководства мехмата ни в советское время, ни в постсоветское – хотя именно он и его ученики составляли славу факультета в конце прошлого века. Также неудивительно, что он стал академиком самых престижных мировых академий раньше, чем в нашей стране.

Насколько я понимаю, его книги – от научно-популярных до всеохватывающих монографий сделали профессиональными математиками множество людей. Его популярные и учебные статьи написаны так ясно, что создаётся ощущение обманчивой лёгкости. (Так интересно читать про цепные дроби!) Последний раз я слушал его лекцию там же, на мехмате, на матобществе, полтора года назад, про применение статистических результатов Колмогорова и Смирнова к последовательностям цифр после запятой рациональных и иррациональных чисел. У Арнольда есть целый мини-цикл работ про это – про статистические свойства совсем, казалось бы, не вероятностных объектов. Что такого случайного может быть в числе пи?! Это самое, можно сказать, не случайное число во всей математике (разве что ноль выглядит не менее неслучайным числом)…

В 1990-е годы многое перемешивалось в жизни. Кассирша в продуктовом магазине на углу Ленинского и Дмитрия Ульянова, когда ей указали на ошибку в расчётах, пробормотала себе под нос: «Вот и Арнольд говорит, что надо перемножать, а я всё складываю». Постеснявшись переспросить, можно только догадываться, что она имела в виду. (А также кто была эта кассирша – выпускница мехмата, слушательница только что созданного и расположенного неподалёку Независимого?) Может быть, она имела в виду ту историю, которую любил пересказывать Арнольд. Когда физик Лев Ландау узнал, что в математической энциклопедии решение одной из проблем Гольдбаха (любое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых) названо «самым выдающимся достижением советской математики», он заметил: «Простые числа не нужно складывать. Их нужно перемножать». Арнольд, не только великий математик, но и автор книги баек про математическую и нематематическую жизнь, наверняка оценил бы историю про кассиршу в гастрономе.

Tags: @Эхо