Константин Сонин (ksonin) wrote,
Константин Сонин
ksonin

Categories:

Удивительная и красивая теорема

Первая лекция Маскина была построена так. Почти час, до 34-го слайда, он рассказывал то, что известно всем, кто слушал стандартнейший курс теории общественного выбора, в котором все результаты известны уже минимум сорок лет. В моём детстве их уже в журнале «Квант» публиковали. После чего, на 35-ом слайде, показал теорему, про которую специалист может сказать только – как это можно было не заметить этот результат в течение сорока лет? В области, в которой все – и математики, и политологи, и экономисты – все эти сорок лет ведут активнейшие исследования. Тем не менее, этот результат столь важен, что, конечно, будет и частью стандартного курса, и любой дискуссии о практическом устройстве избирательных систем.

Вопрос такой. Как должна выглядеть система президентских выборов, при которой «третьи» кандидаты – Надер во Флориде в 2000 году, Ле Пен во Франции в 2002-м – не будет иметь решающего значения. Иными словами, если бы избиратели сообщили свои предпочтения не только относительно одного, наиболее предпочитаемого, кандидата, но и относительно всех, то результат выборов мог бы быть другим. Как этого избежать?

Какие свойства хотелось бы увидеть у хорошей избирательной системы? Подразумевается, что каждый избиратель может упорядочить кандидатов (возможно, нестрого) и голосует согласно своим предпочтениям. (А какой смысл голосовать «стратегически» на выборах, в которых участвуют миллионы людей? В небольшом совете это было бы, конечно, неприменимо). Хотелось бы видеть такие свойства:

(а) если все избиратели считают, что кандидат А лучше кандидата В, то избирают А, а не В

(б) результаты выборов должны зависеть только от голосов, а не от того, кто именно из избирателей как проголосовал

(в) имена кандидатов не должны играть никакой роли, то есть если во всех бюллетенях поменять местами имена кандидатов А и В, то, если до смены выигрывал А, то теперь выигрывает В

(д) относительный результат кандидатов А и В не должен зависеть от того, участвует или не участвует в выборах кандидат С

(г) система обязательно должна определять победителя

Всем известно, что системы выборов, которая удовлетворяет всем этим требованиям, не существует – это знаменитая теорема Эрроу! Доказана пятьдесят лет назад. Иными словами, про любую избирательную систему можно сказать, какое из требований она нарушает.

Однако многие избирательные системы работают, если не требовать, чтобы всё работало для любого упорядочения кандидатов, которые могли бы быть у избирателей. Никто же не упорядочит кандидатов в порядке Путин > Немцов > Медведев > Лимонов > Миронов. Гораздо вероятнее будет Путин > Миронов > Медведев > Немцов > Лимонов или Лимонов > Немцов > Миронов > Медведев > Путин. А если ограничить множество упорядочений, для которых должна работать система выборов, то работающая система часто существует.

Так вот, оказывается, можно доказать теорему (Теорему Дасгупты-Маскина), что если на каком-то множестве предпочтений работает какая-то система, то «правило Кондорсе» тоже работает на этом упорядочении! И, наоборот, для любой системы выборов есть такое ограничение множества предпочтений, что «правило Кондорсе» на нём работает, а эта система – нет.

«Правило Кондорсе» - это такая избирательная система. Избиратели упорядочивают кандидатов и избирается тот, кто побеждает в «попарных голосованиях» любого другого кандидата. Конечно, «правило Кондорсе» не может удовлетворять требованиям (а)-(г), потому что им не какая система выборов не удовлетворяет. Как было известно ещё самому маркизу Кондорсе, проблема в том, что такой кандидат (побеждающий всех в попарных голосованиях) существует не всегда. (Работает там, где нет порядков типа Путин > Лимонов > Миронов).

Но Дасгупта и Маскин показали, что «правило Кондорсе», пусть и неидеальное, просто лучше всех остальных (из всех возможных). Специалистам по избирательным системам и теории общественного выбора можно только замереть в благоговении.

UPD: Полный текст лекции на Slon.ru.
Tags: @Ведомости, @Эхо, научная жизнь в Москве
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 57 comments